유래 #

몬티 홀 문제(Monty Hall problem)는 미국의 TV 게임 쇼 《Let's Make a Deal》에서 유래한 퍼즐이다. 퍼즐의 이름은 이 게임 쇼의 진행자 몬티 홀의 이름에서 따온 것이다. 퍼즐의 내용은 다음과 같다.

내용 #

세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있는 게임쇼에 참가했다. 한 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다. 이때 어떤 사람이 예를 들어 1번 문을 선택했을 때, 게임쇼 진행자는 3번 문을 열어 문뒤에 염소가 있음을 보여주면서 1번 대신 2번을 선택하겠냐고 물었다. 이때 원래 선택했던 번호를 바꾸는 것이 유리할까? 이때 진행자는 자동차와 염소가 어떤 문에 있는지 알고 있기 때문에, 진행자가 자동차가 있는 문을 여는 일은 발생하지 않는다.

이 문제에 대해 Bayesian 접근법을 이용하여 확률을 구해보기로 한다. 문제를 풀기 위해 다시 한번 시나리오를 정해본다. 게임쇼의 출연자가 1번 문을 선택을 했고 진행자는 2번 문을 열어서 문뒤에 염소가 있다는 것을 보여주었다. 이러한 정보를 추가적으로 얻었을때 과연 어느 문뒤에 자동차가 있을 확률이 높을까?

bayesian theorem 은 아래와 같다. $$ P(H|D) = (P(H) * P(D|H)) / P(D) $$ P(H|D)를 posterior probability, P(H)를 prior probability, P(D|H)를 Likelihood라 한다.

위 시나리오에서는 3가지 가설이 가능하다.

• H1 : 1번 문 뒤에 자동차가 있다는 가설
• H2 : 2번 문 뒤에 자동차가 있다는 가설
• H3 : 3번 문 뒤에 자동차가 있다는 가설

데이터(D)는 위의 시나리오에서 "진행자가 2번 문을 열어 염소가 있는 것을 보여주었다" 라는 것이 된다. $$ P(D) = P(D|H1) * P(H1) + P(D|H2) * P(H2) + P(D|H3) * P(H3) $$

H1의 경우를 살펴보면 3가지 가설중에 아무정보도 없을때는 3가지 중에 한가지 이므로 P(H1) = 1/3. H1에 자동차가 있을 경우 데이터(D, 2번 문을 열어서 염소가 있다는 것을 보여준 것)가 나올 확률, 곧 P(D|H1)은 1/2가 된다(진행자는 3번 문을 열수도 있었기 때문에).

나머지도 생각해보면 결국 데이터가 주어졌을 경우에는 H3의 가설이 가장 높은 것을 알수 있다.

참조 #

Adams, Cecil (2 November 1990). "On 'Let's Make a Deal,' you pick door #1. Monty opens door #2 – no prize. Do you stay with door #1 or switch to #3?". The Straight Dope. Retrieved 25 July 2005.